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從數(shù)學(xué)故事中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦

發(fā)布時(shí)間:2016-01-19 10:55:50瀏覽次數(shù):3591

 

從數(shù)學(xué)故事中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦
數(shù)學(xué)是什么,遠(yuǎn)遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)怎么教更加重要。只有準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特點(diǎn),才能有效地實(shí)施其教學(xué)。
  我 們知道數(shù)學(xué)有三大特性,即抽象性、嚴(yán)密性和應(yīng)用的廣泛性,但在學(xué)科培訓(xùn)、教學(xué)研究中一方面我們必須從數(shù)學(xué)三大特性的高度理性地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué),另一方面我們需要 對(duì)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)有著更具體、更鮮活、更有意蘊(yùn)的理解。于是我們改編、新創(chuàng)了一組關(guān)于數(shù)學(xué)的精粹而有意蘊(yùn)的故事,期望借助數(shù)學(xué)故事引導(dǎo)學(xué)生真切地感悟數(shù)學(xué)的真 諦。
  故事一:燒水的問(wèn)題
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  有好事者提出這樣一個(gè)問(wèn)題:“假如你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴,你想燒些水應(yīng)當(dāng)怎樣去做?”
  被提問(wèn)者答道:“在壺中放上水,點(diǎn)燃煤氣,再把水壺放到煤氣灶上。”
  提問(wèn)者肯定了這一回答,接著追問(wèn):“如其他條件不變,只是水壺中已有了足夠的水,那你又應(yīng)當(dāng)怎樣去做? ”
  這時(shí)被提問(wèn)者很有信心地答道:“點(diǎn)燃煤氣,再把水壺放到煤氣灶上。”
  但是提問(wèn)者說(shuō):“物理學(xué)家通常都這么做,而數(shù)學(xué)家們則會(huì)倒去壺中的水,并聲稱已把后一問(wèn)題轉(zhuǎn)化成先前的問(wèn)題。”
  感悟:
  數(shù)學(xué)家“倒去壺中的水”似乎是多此一舉,故事的編創(chuàng)者不是要我們?nèi)?ldquo;倒去壺中的水”,而是引導(dǎo)我們感悟數(shù)學(xué)家獨(dú)特的思維方式──轉(zhuǎn)化。
  學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)不是問(wèn)題解決方案的累積記憶,而是要學(xué)會(huì)把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知的問(wèn)題,把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題,把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體的問(wèn)題。數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化 思想簡(jiǎn)化了我們的思維狀態(tài),提升了我們的思維品質(zhì)。轉(zhuǎn)化不是就事論事、一事一策,而是發(fā)掘出問(wèn)題中最本質(zhì)的內(nèi)核和原型,再把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化成與已經(jīng)能夠解決的 問(wèn)題。
  轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的基本思想,它應(yīng)貫穿在我們數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。
  故事二:兩只羊的描述
  草地上有兩只羊,在藝術(shù)家、生物學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家看來(lái)卻有不同的感受與理解,下面是他們的的描述。
  藝術(shù)家:“藍(lán)天、碧水、綠草、白羊,美哉自然。”
  生物學(xué)家:“雄雌一對(duì),生生不息。”
  物理學(xué)家:“大羊靜臥,小羊漫步。”
  數(shù)學(xué)家:“1+1=2。”
  感悟:
  從故事中不同職業(yè)的人對(duì)兩只羊的描述,我們感受到藝術(shù)家對(duì)自然美的關(guān)注,生物學(xué)家對(duì)生命的關(guān)注,物理學(xué)家對(duì)運(yùn)動(dòng)與靜止的關(guān)注,而數(shù)學(xué)家從色彩、性別、狀態(tài)中抽象出數(shù)量關(guān)系:1+1=2,這是數(shù)學(xué)高度抽象性的體現(xiàn)。
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  在數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要經(jīng)歷具體—表象—抽象的過(guò)程,教學(xué)時(shí)要在直觀物體和抽象概念之間構(gòu)建橋梁,從而引導(dǎo)學(xué)生把握事物最主要、最本質(zhì)的數(shù)學(xué)屬性。
  抽象有一個(gè)學(xué)生經(jīng)歷的過(guò)程,而不是直接告訴學(xué)生抽象的結(jié)果。數(shù)學(xué)抽象本身又是一個(gè)不斷提高的過(guò)程,這一過(guò)程永無(wú)止境。
  故事三:籬笆圍面積
  一位農(nóng)夫請(qǐng)了工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家,讓他們用最少的籬笆圍出最大的面積。
  工程師用籬笆圍出一個(gè)圓,宣稱這是最優(yōu)設(shè)計(jì)。
  物理學(xué)家說(shuō):“將籬笆分解拉開(kāi),形成一條足夠長(zhǎng)的直線,當(dāng)圍起半個(gè)地球時(shí),面積最大了。”
  數(shù)學(xué)家好好嘲笑了他們一番。他用很少的籬笆把自己圍起來(lái),然后說(shuō):“我現(xiàn)在是在籬笆的外面。”
  感悟:
  工程師的設(shè)計(jì)是實(shí)用的、唯美的,不愧是“最優(yōu)設(shè)計(jì)”。物理學(xué)家的思維具有奇特的想象力,籬笆可無(wú)限地分解拉開(kāi),似乎圍成的面積已經(jīng)是 “最大了”。數(shù)學(xué)家是用很少的籬笆把自己圍起來(lái),然后說(shuō):“我現(xiàn)在是在籬笆的外面。”工程師和物理學(xué)家力圖圍出最大的面積,而數(shù)學(xué)家是先圍出最小的面積。人們說(shuō),退一步海闊天空,而數(shù)學(xué)家何止是退一步,是反其道而行之。“反其道”是一種逆向思維的品質(zhì)。
  逆向思維是創(chuàng)造思維的組成部分。在我們面對(duì)“山重水復(fù)”之時(shí),逆向思考常常使我們找到“柳暗花明”之路。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)使逆向思維成為學(xué)生應(yīng)有的自覺(jué)意識(shí)和實(shí)踐行為。
  故事四:蘇格蘭的羊
  三位科學(xué)家由倫敦去蘇格蘭參加會(huì)議,越過(guò)邊境不久,發(fā)現(xiàn)了一只黑羊。
  “啊,” 天文學(xué)家說(shuō),“原來(lái)蘇格蘭的羊是黑色的。”
  “得了吧,僅憑一次觀察你可不能這么說(shuō)。” 物理學(xué)家道,“你只能說(shuō)那只黑色的羊是在蘇格蘭邊境發(fā)現(xiàn)的。”
  “也不對(duì),”數(shù)學(xué)家道,“由這次觀察你只能說(shuō):在這一時(shí)刻,這只羊,從我們觀察的角度看過(guò)去,有一側(cè)表面上是黑色的。”
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  感悟:
  著名的思想家培根說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)使人精確。”故事中的數(shù)學(xué)家對(duì)蘇格蘭羊的描述充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。
  數(shù)學(xué)是思維的體操,語(yǔ)言是思維的外殼,數(shù)學(xué)的理性思維是建立在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理等數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)密界定之上的。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔、精煉、嚴(yán)密的特性需要我們?cè)谄綍r(shí)的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中不斷地錘煉教學(xué)語(yǔ)言,并進(jìn)而通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的訓(xùn)練提升學(xué)生的思維品質(zhì)。
  故事五:三角形的內(nèi)角和
  美籍華人陳省身教授是當(dāng)代舉世聞名的數(shù)學(xué)家,他在北京大學(xué)的一次講學(xué)中語(yǔ)驚四座:
  “人們常說(shuō),三角形內(nèi)角和等于180度。但是,這是不對(duì)的!”
  大家愕然。怎么回事?三角形內(nèi)角和是180度,這不是數(shù)學(xué)常識(shí)嗎?
  接著,這位老教授對(duì)大家的疑問(wèn)作了精辟的解答:“說(shuō)三角形內(nèi)角和為180度不對(duì),不是說(shuō)這個(gè)事實(shí)不對(duì),而是說(shuō)這種看問(wèn)題的方法不對(duì),應(yīng)當(dāng)說(shuō)三角形外角和是360度。”
  “把眼光盯住內(nèi)角,我們只能看到:
  三角形內(nèi)角和是180度;
  四邊形內(nèi)角和是360度;
  五邊形內(nèi)角和是540度;
  ……
  n邊形內(nèi)角和是(n-2)×180度。
  這就找到了一個(gè)計(jì)算內(nèi)角和的公式。公式里出現(xiàn)了邊數(shù)n。如果看外角呢?
  三角形的外角和是360度;
  四邊形的外角和是360度;
  五邊形的外角和是360度;
  ……
  任意n邊形外角和都是360度。
  這就把多種情形用一個(gè)十分簡(jiǎn)單的結(jié)論概括起來(lái)。用一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)代替了與n有關(guān)的公式,找到了更一般的規(guī)律。”
  感悟:
  讀罷陳省身的故事,我們想起數(shù)學(xué)家波萊爾的一段話:“數(shù)學(xué)家的目的往往是尋求一般的解,他喜歡用幾個(gè)一般的公式來(lái)解決許多特殊的問(wèn)題。”
  數(shù)學(xué)教學(xué)不是羅列更多的現(xiàn)象,也不是追求更妙的技巧,而是要從更普遍的、更一般的角度尋求規(guī)律和答案。
  故事六:樹(shù)上有幾只鳥(niǎo)
  某日,老師想看看學(xué)生的智商如何,于是有了下面的對(duì)話。
  老師問(wèn):“樹(shù)上有10只鳥(niǎo),開(kāi)槍打死1只,還剩幾只?”
  學(xué)生反問(wèn):“您確定那只鳥(niǎo)真的被打死了嗎?”
  “確定。”
  “是無(wú)聲手槍嗎?”
  “不是。”
  “槍聲有多大?”
  “80~100分貝。”
  “那就是說(shuō)會(huì)震得耳朵疼?”
  “是。”
  老師已經(jīng)不耐煩了,“拜托,你告訴我還剩幾只就行,OK?”
  “OK,樹(shù)上的鳥(niǎo)有沒(méi)有聾子?”
  “沒(méi)有。”
  “有沒(méi)有關(guān)在籠子里的?”
  “沒(méi)有。”
  “邊上還有沒(méi)有其他的樹(shù)?樹(shù)上還有沒(méi)有其他的鳥(niǎo)?”
  “沒(méi)有。”
  “算不算懷在肚子里的小鳥(niǎo)?”
  “不算。”
  “打鳥(niǎo)的人眼有沒(méi)有花?保證是10只?”
  “沒(méi)有花,就10只。”
  老師已經(jīng)滿頭是汗,且下課鈴已響了,但學(xué)生還是追問(wèn)。
  “有沒(méi)有傻到不怕死的?”
  “都怕死。”
  “會(huì)不會(huì)一槍打死2只?”
  “不會(huì)。”
  “所有的鳥(niǎo)都可以自由活動(dòng)嗎?”
  “完全可以。”
  “如果您的回答沒(méi)有騙人,” 學(xué)生滿懷信心地說(shuō),“打死的鳥(niǎo)要是掛在樹(shù)上沒(méi)掉下來(lái),那么就剩下1只;如果掉下來(lái),就1只不剩。”
  老師當(dāng)即暈倒……
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  感悟:
  讀完上述故事,我們似乎也有暈倒的感覺(jué)。樹(shù)上有幾只鳥(niǎo),本是一道趣味數(shù)學(xué)題。數(shù)學(xué)需要趣味,那怕這種趣味帶點(diǎn)幼稚,答案不夠周密。“趣味數(shù)學(xué)”是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)想象、數(shù)學(xué)情趣及思維火化的有效素材。趣味數(shù)學(xué)題一旦“坐實(shí)”,就失去了生機(jī)與活力。故事中的學(xué)生似乎有點(diǎn)“走火入魔”,這會(huì)不會(huì)與我們刻板的教學(xué)有關(guān)呢?
  如果開(kāi)放題被肢解成一道道封閉題,就違背了開(kāi)放的本意。數(shù)學(xué)需要開(kāi)放,開(kāi)放的目的是發(fā)散學(xué)生的思維,開(kāi)放的本質(zhì)是思維。數(shù)學(xué)教育教學(xué)中需要開(kāi)放,開(kāi)放包括教學(xué)組織及整個(gè)設(shè)計(jì),不可狹隘地理解為一道數(shù)學(xué)題,而是一個(gè)貫穿教學(xué)過(guò)程的主題,開(kāi)放題只是載體與素材,開(kāi)放應(yīng)上升為一種思想。
  諸如“樹(shù)上有幾只鳥(niǎo)”之類的話題,您也許別有一番高見(jiàn),智者見(jiàn)智、趣者見(jiàn)趣,最后還是讓我們讀讀下面兩段文字:
  “甚至在數(shù)學(xué)上也是需要幻想的,甚至沒(méi)有它就不可能發(fā)明微積分。”(列寧語(yǔ))
  “沒(méi)有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”(牛頓語(yǔ))
 
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